ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 2016
Môn thi: Toán
Ngày thi: 14/9/2016
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài I:
Cho hàm số $y=x^{4}-2(m+1)x^{2}+3m+2$. Tìm $m$ để đồ thị
hàm số có 3 đỉnh cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân
Bài II:
1) Giải phương
trình: $\sqrt{2x^{2}-2x+4}+\sqrt{5x^{2}+4}+x^{2}-7x+1=0$
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}=5\\ \sqrt{x+4y}+2x-y=3\\ \end{matrix}\right.$
Bài III:
Cho dãy số $(u_{n})$ có
$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n-1}u_{n-1}+n$ với $n\geq 2$
1) Xác định công thức của $(u_{n})$
2) Chứng minh $u_{1}+u_{2}+...+u_{2016}<2016^{3}$
Bài IV:
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác ABC có đường cao AD, trực
tâm H. Gọi E, F là hình chiếu của D lên BH, CH. P là giao điểm của EF và AC
1) CMR: DP vuông góc AC
2) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết D(1;-1), P(3;1)
và tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là I(2;0)
Bài V:
Cho tứ diện OABC có 3 góc tại đỉnh O vuông. Gọi H là hình
chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). P là điểm bất kì trong tam giác ABC
Chứng
minh: $\frac{PA^{2}}{OA^{2}}+\frac{PB^{2}}{OB^{2}}+\frac{PC^{2}}{OC^{2}}=1+\frac{OP^{2}}{OH^{2}}$
Bài VI:
Cho $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ thỏa
mãn $ab+bc+ca+2abc=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2(a+b+c)$
Post a Comment