Phương pháp UCT cho hệ phương trình

Phương pháp UCT cho hệ phương trình

Đây là hệ gồm hai tam thức bậc hai. Khi đó tất nhiên ta phải nghĩ tới $\Delta$. Một tam thức có phân tích được nhân tử hay không phải xem $\Delta x$ hoặc $\Delta y$ có chính phương hay không. Nếu một trong 2 pt cho $\Delta x$ hoặc $\Delta y$ chính phương thì dễ dàng rồi, khi đó tìm nghiệm rồi phân tích nhân tử là ra được mối quan hệ giữa $x;y$ và thế vào pt còn lại thôi! Thế nhưng nếu cả 2 pt đều cho $\Delta x;y$ không chính phương thì ta làm như nào? Khi đó phải dùng đến phương pháp $UCT$ - một công cụ rất mạnh gần như quét sạch tất cả các bài HPT. Ta sẽ chọn hằng số thích hợp nhân vào một pt sau đó cộng (trừ) với pt còn lại và ép cho $\Delta$ chính phương.

Tức là tìm $k$ sao cho $\Delta$ của $\left(PT(1)+k.PT(2)\right)$ chính phương (là có thể phân tích thành nhân tử).

Ví dụ 1:

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix}14x^2-21y^2-6x+45y-14=0  &  & \\ 35x^2+28y^2+41x-122y+56=0  &  &  \end{matrix}\right.$

Phần nháp:
Ta thấy $a=14+35k$; $b=-21+28k$; $c=0$; $d=-6+41k$; $e=45-122k$; $f=-14+56k$.

Số $k$ sẽ là nghiệm của pt: $$0+4(14+35k)(-21+28k)(-14+56k)=(14+35k)(45-122k)^2+(-21+28k)(-6+41k)^2$$
$$\Leftrightarrow k=\frac{-15}{49}$$

Như vậy ta sẽ lấy $PT(1)-\frac{15}{49}PT(2)$ hay $49PT(1)-15PT(2)$

Lời giải:

Có: $49PT(1)-15PT(2)=...$
$\Leftrightarrow (161x-483y+218)(x+3y-7)=0$ (Tính $\Delta x$  hoặc $\Delta y$ sẽ phân tích được nhân tử)
Tới đây dễ dàng tìm ra nghiệm của hpt là $(x;y)=(-2;3);(1;2)$. $\blacksquare$

Bài tập:

Giải hpt:

$228)$ $\left\{\begin{matrix}x^2+8y^2-6xy+x-3y-624=0  &  & \\ 21x^2-24y^2-30xy-83x+49y+585=0  &  &  \end{matrix}\right.$

$229)$ $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-3x+4y=1  &  & \\ 3x^2-2y^2-9x-8y=3  &  &  \end{matrix}\right.$

$230)$ $\left\{\begin{matrix}y^2=(4x+4)(4-x)  &  & \\ y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16=0  &  &  \end{matrix}\right.$

$231)$ $\left\{\begin{matrix}xy-3x-2y=16  &  & \\ x^2+y^2-2x-4y=33  &  &  \end{matrix}\right.$

$232)$ $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=3  &  & \\ x^2+2xy-7x-5y+9=0  &  &  \end{matrix}\right.$

$233)$ $\left\{\begin{matrix}(2x+1)^2+y^2+y=2x+3  &  & \\ xy+x=-1  &  &  \end{matrix}\right.$

$234)$ $\left\{\begin{matrix}x^2+2y^2=2y-2xy+1  &  & \\ 3x^2+2xy-y^2=2x-y+5  &  &  \end{matrix}\right.$

$235)$ $\left\{\begin{matrix}(x-1)^2+6(x-1)y+4y^2=20  &  & \\ x^2+(2y+1)^2=2  &  &  \end{matrix}\right.$

$236)$ $\left\{\begin{matrix}2x^2+4xy+2y^2+3x+3y-2=0  &  & \\ x^2+y^2+4xy+2y=0  &  &  \end{matrix}\right.$

$237)$ $\left\{\begin{matrix}2x^2+3xy=3y-13  &  & \\ 3y^2+2xy=2x+11  &  &  \end{matrix}\right.$

$238)$ $\left\{\begin{matrix}4x^2+3y(x-1)=7  &  & \\ 3y^2+4x(y-1)=3  &  &  \end{matrix}\right.$

$239)$ $\left\{\begin{matrix}x^2+2=x(y-1)  &  & \\ y^2-7=y(x-1)  &  &  \end{matrix}\right.$

$240)$ $\left\{\begin{matrix}x^2+2xy+2y^2+3x=0  &  & \\ xy+y^2+3y+1=0  &  &  \end{matrix}\right.$

Ví dụ 2:

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix}x^3-y^3=35 & & \\ 2x^2+3y^2=4x-9y & & \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Có: $PT(1)-3PT(2)=...$

$\Leftrightarrow (x-2)^3=(y+2)^3$

$\Leftrightarrow x=y+5$

Thay vào $PT(2)$ ta dễ dàng tìm ra nghiệm $(x;y)=(2;-3);(3;-2)$ $\blacksquare$

Phân tích lời giải:

Bài này không giống dạng TQ, vậy ta đã thực hiện UCT như nào?

Đánh giá:
- Bậc của $x;y$ như nhau

- Các biến $x;y$ độc lập (Không liên quan tới nhau)

- $PT(1)$ có bậc cao hơn $PT(2)$

Vậy ta sẽ nhân hằng số vào $PT(2)$ để $PT(1)+a.PT(2)$ đưa được về dạng $A^3=B^3$.

Ta thực hiện:
$PT(1)+a.PT(2)=x^3-y^3-35+2ax^2+3ay^2-4ax+9ay$ 

Cần tìm $a$ sao cho vế trái có dạng $$(x+\alpha )^3-(y+\beta )^3=0$$

$$\Leftrightarrow x^3+3x^2\alpha +3x\alpha ^2+\alpha^3-y^3-3y^2\beta -3y\beta ^2-\beta ^3=0$$  

Cân bằng bậc ta được: $\left\{\begin{matrix}\alpha ^3-\beta ^3=-35  &  & \\ 3\alpha =2a  &  & \\ 3\alpha ^2=-4a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=-3  &  & \\ \alpha=-2  &  & \\ \beta=3 \end{matrix}\right.$

Vậy ta sẽ lấy $PT(1)-3PT(2)$ ...

Bài tập:

$241)$ Giải hpt: $\left\{\begin{matrix}x^3+y^3=91 & & \\ 4x^2+3y^2=16x+9y & & \end{matrix}\right.$