Đề thi tuyển chọn HSG KHTN lớp 10 năm học 2014-2015

Câu I: Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 5 .CMR  $p-4$ không thể là lũy thừa bậc bốn của 1 số nguyên
Câu II Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=56 &  & \\ 3x^2-9x=y^2-y+10 &  & \end{matrix}\right.$$
Câu III  Cho tam giác ABC nhọn .P là điểm di chuyển trên BC . (K), (L) là các  đường tròn ngoại tiếp tam giác PAB, PAC. Lấy S thuộc (K) sao cho PS//AB, lây T thuộc (L) sao cho PT//CA.
a, CMR (A,T,S) đi qua điểm cố định khác A là J
b, GỌi (K) cắt CA tại E, (L) cắt AB ở F khác A. BE cắt CF ở G. CMR PG đi qua J khi và chỉ khi AP đi qua tâm đường  tròn Euler của ABC.

Câu IV Cho $a,b,c >0$ 

Chứng minh rằng 
$$\sum \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2}{9(a+b+c)^2}$$

Câu V

Với n là 1 số nguyên dương ta xét 1 bảng ô vuông n x n. Mỗi ô vuông con đk tô bởi 2 màu đỏ và xanh. Tìm n nhỏ nhất sao cho với mỗi cách tô màu luôn có thể chọn được 1 hình chữ nhật các ô vuông con kích thước m x k   ($2\leq k;m\leq n$)    mà bốn ô vuông con ở 4 góc của hình chữ nhật này có cùng màu