ĐỀ THI OLYMPIC QUỐC TẾ IMO 2016

IMO 2016

Ngày 11-07-2016

Bài 1. Tam giác $BCF$ vuông tại $B.A$ là một điểm trên đường thẳng $CF$ sao cho $FA=FB,F$ nằm giữa $A$ và $C$. Chọn điểm $D$ sao cho $DA=DC$ và $AC$ là phân giác của $\angle DAB$. Chọn điểm $E$ sao cho $EA=ED$ và $AD$ là phân giác của $\angle EAC$. $M$ là trung điểm $CF$. $X$ là điểm thỏa mãn $AMXE$ là hình bình hành. Chứng minh rằng $BD$, $FX$ và $ME$ đồng quy.

Bài 2. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho có thể điền vào bảng ô vuông $n\times n$ các chữ cái $I$, $M$ và $O$ theo quy tắc

- Mỗi hàng và mỗi cột $I$, $M$, $O$ đều chiếm một phần ba số ô được điền.

- Trong bất kì đường chéo nào, nếu số ô được điền là bội của ba thì một phần ba trong số đó là $I$, một phần ba là $M$ và một phần ba là $O$.

Ghi chú. Các hàng và các cột của bảng $n\times n$ được đánh số từ $1$ đến $n$ theo thứ tự thông thường. Do đó mỗi ô đều tương ứng với một cặp số tự nhiên $(i,j)$ với $1\le i,j\le n$. Với $n>1$, bảng có $4n-2$ đường chéo được chia làm hai loại. Đường chéo loại 1 gồm các ô $(i,j)$ mà $i+j$ là hằng số và đường chéo loại 2 gồm các ô $(i,j)$ mà $i-j$ là hằng số.

Bài 3. Cho $P=A_1A_2\ldots A_k$ là một đa giác lồi trong mặt phẳng. Các đỉnh $A_1,A_2,\ldots A_k$ có tọa độ là các số nguyên và nằm trên một đường tròn. Gọi $S$ là diện tích của $P$. Một số tự nhiên $n$ lẻ thỏa mãn bình phương độ dài các cạnh của $P$ đều chia hết cho $n$. Chứng minh rằng $2S$ là một số tự nhiên chia hết cho $n$

Bài 4. Một tập hợp  các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất 2 phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại . Đặt $P(n)=n^{2}+n+1$. Hãy tìm số nguyên dương $b$ nhỏ nhất sao cho tồn tại số không âm $a$  để tập hợp  $\left \{ P(a+1);P(a+2);...;P(a+b) \right \}$ là tập hương.

Bài 5. Người ta viết lên bảng phương trình:

$(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)$

với 2016 nhân tử bậc nhất ở mỗi vế. Hãy tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để có thể xóa đi $k$ nhân tử trong số 4032 nhân tử nêu trên sao cho mỗi vế còn ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực.

Bài 6. Trong mặt phẳng, cho $n\geq 2$ đoạn thẳng sao cho 2 đoạn thẳng bất kì cắt nhau tại một điểm nằm trên mỗi đoạn và không có ba đoạn thẳng nào đồng quy.Với mỗi đoạn thẳng thầy Minh chọn một đầu mút của nó rồi đặt lên đó một con ếch sao cho mặt con ếch hướng về đầu mút còn lại. Sau đó thầy vỗ tay $n-1$ lần. Mỗi lần vỗ tay con ếch ngay lập tức nhảy đến giao điểm gần nhất trên đoạn thẳng của nó. Tất cả những con ếch đều không thay đổi  hướng nhảy của mình trong toàn bộ quá trình nhảy. Thầy Minh muốn đặt các con ếch sao cho sau mỗi lần vỗ tay không có hai con nào nhảy đến cùng một điểm.

(a). Chứng minh rằng thầy Minh luôn thực hiện được ý định của mình nếu $n$ là số lẻ.

(b).  Chứng minh rằng thầy Minh không thể thực hiện được ý định của mình nếu nếu $n$ là số chẵn.