Dạng $1$ : $\sqrt{ax+b}=\frac{1}{a}x^{2}+cx+d$
thõa mãn $b+ad=\frac{a^{2}c}{2}(1+\frac{c}{2})$ ( chú ý
điều kiện dạng này nhá , chứ không nên để lẫn lộn )
Cách giải :
Xét $f(x)=\frac{1}{a}x^{2}+cx+d$
$f'(x)=\frac{2}{a}x+c_{1}'$
Ta cho $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{-ac}{2}$ hay
$x+\frac{ac}{2}=0$
Khi đó đặt $\sqrt{ax+b}=y+\frac{ac}{2}$
Ví dụ $1$ : $x^{2}+4x=\sqrt{x+6}$ (1)
ĐK : $x\geq -6$
$f(x)=x^{2}+4x$
$f'(x)=2x+4$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=-2$
Đặt $\sqrt{x+6}=y+2(y\geq -2)$ (2)
$\Rightarrow (y+2)^{2}=x+6$
Từ (1) ta có : $x^{2}+4x=y+2\Leftrightarrow
(x+2)^{2}=y+6$ (3)
Từ (2)(3) ta có hệ ĐX L$2$ : $\left\{\begin{matrix}
(x+2)^{2}=y+6 \\ (y+2)^{2}=x+6 \end{matrix}\right.$
Dạng $2$ : $\sqrt{ax+b}=cx^{2}+dx+e$ ( $a\neq
0 ,c\neq 0 , a\neq \frac{1}{c}$ )
Cách giải
$f(x)=cx^{2}+dx+e$
$f'(x)=2cx+d$
Đặt $\sqrt{ax+b}=2cy+d$
Ví dụ $2$ : $x^{2}-x-2013\sqrt{1+16104x}=2013$ (1)
Đặt $a=2013\Rightarrow 16104=8a$
PT(1) trở thành : $x^{2}-x-a\sqrt{1+8ax}=a$ (2)
$f(x)=x^{2}-x$
$f'(x)=2x-1$
Đặt $\sqrt{1+8ax}=2y-1$ ( $y\geq \frac{1}{2}$ )
$\Rightarrow 1+8ax=4y^{2}-4y+1\Leftrightarrow y^{2}-y=2ax$
(3)
PT(2) trở thành $x^{2}-x-a(2y-1)=a\Leftrightarrow
x^{2}-x=2ay$ (4)
Từ (3)(4) ta có hệ đỗi xứng loại $2$
: $\left\{\begin{matrix} x^{2}-x=2ay \\ y^{2}-y=2ax \end{matrix}\right.$
Ví dụ $3$ : Ví dụ này khó hơn $2$ ví dụ trên !!
$\sqrt{3x+1}=-4x^{2}+13x-5$ (1)
Nếu ta làm như cách trên :
$f(x)=-4x^{2}+13x$
$f'(x)=-8x+13$
Nếu rơi vào trường hợp này , mình chia sẽ các bạn $1$ cách
tìm ra cách đặt bằng phương pháp : UCT ĐỂ GIẢI NHÉ!
Ta chú ý một chút : Khi đặt $\sqrt{3x+1}=ax+b\Leftrightarrow
3x+1=a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+x(2ab-3)+(b^{2}-1)=0$ (2)
PT(1) trở thành : $4x^{2}-13x+5+ax+b=0\Leftrightarrow
4x^{2}+x(a-13)+(b+5)=0$ (3)
Để từ (2)(3) ta có hệ đối xứng loại $2$ thì ta phải cân bằng
hệ số một chút :
$\left\{\begin{matrix} a^{2}=4 \\ 2ab-3=a-13 \\ b^{2}-1=b+5
\end{matrix}\right.$
Giải cái này ta sẽ tìm được : $\left\{\begin{matrix}
a=-2 \\ b=3 \end{matrix}\right.$
Như vậy ta sẽ đặt : $\sqrt{3x+1}=-2y+3$ ( $y\leq
\frac{3}{2}$ )
Việc còn lại các bạn tiếp tục nhé , thử xem nó có đưa về hệ
đối xứng loại $2$ không
Bài tập nhé : Các bạn thử dùng cách UCT này làm lại VD $1$ và VD $2$
Mở rộng lên bậc $3$ nhé ( thử xem được không ) :
Dạng $3$ : $\sqrt[3]{ax+b}=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$ với $a\neq
0 ,c\neq 0, a=\frac{1}{c}$ ( các bạn nhớ chú ý điều kiện dạng này nhá , chứ
không nên để lẫn lộn )
$f(x)=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$
$f'(x)=3cx^{2}+2dx+e$
$f''(x)=6cx+2d$
$f''(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{-d}{3c}$
Đặt $\sqrt[3]{ax+b}=y+\frac{d}{3c}$
Dạng $4$ : $\sqrt[3]{ax+b}=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$ với $a\neq
0,c\neq 0,a\neq \frac{1}{c}$
$f(x)=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$
$f'(x)=3cx^{2}+2dx+e$
$f''(x)=6cx+2d$
Đặt $\sqrt[3]{ax+b}=3cy+d$
Post a Comment