KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 12
THPT NĂM HỌC 2015-2016
Ngày thi
: 02/10/2015
Thời
gian làm bài : 180 phút
( Đề thi
gồm 01 trang )
Bài
I: (3,0 điểm)
Cho hàm
số $y=x^{3}+3x^{2}$, có đồ thị ($C$). Tìm trên trục hoành các điểm mà từ đó kẻ
được đến đồ thị ($C$) ba tiếp tuyến phân biệt, trong đó có hai tiếp tuyến vuông
góc với nhau
Bài
II: (5,0 điểm)
1) Giải
phương trình $2\sqrt{-2x^{2}+5x+7}=x^{3}-3x^{2}-x+12$
2) Giải
hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{3}+xy^{2}=y^{6}+y^{4} \\
3\sqrt{7+2x^{2}}+\sqrt{3-2y^{4}}=10 \end{matrix}\right.$
Bài
III: (3,0 điểm)
Cho
$a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh
$4.\sum
\frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$
Bài
IV: (5,0 điểm)
Cho hai
tia $Ax;By$ chéo nhau, có $AB$ là đoạn vuông góc chung. Điểm $M$ di động trên
tia $Ax$ ($M$ khác $A$), điểm $N$ di động trên tia $By$ ($N$ khác $B$) sao cho
$AM+BN=MN$. Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, $H$ là hình chiếu vuông
góc của $O$ trên $MN$ .
1) Chứng
minh $HM=AM$ và $HN=BN$
2) Chứng
minh $H$ thuộc một đường tròn cố định.
Bài
V: (4,0 điểm)
Cho dãy
số ($x_{n}$) xác định bởi $\left\{\begin{matrix}x_1=1 \\
x_{n+1}=x_n^{2016}+x_n,n=1,2,... \end{matrix}\right.$
Xét dãy
số ($y_n$) với
$y_n=\frac{x_1^{2015}}{x_2}+\frac{x_2^{2015}}{x_3}+....+\frac{x_n^{2015}}{x_n+1},n=1,2,...$
1) Chứng
minh $y_n=1-\frac{1}{x_{n+1}}$
2) Tìm
$lim$ $y_n$
Post a Comment