Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh $\sum \dfrac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}\geq 3$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh

$\sum \dfrac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}\geq 3$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum \frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}=\sum \frac{a^2}{a^2+ab+bc}+2\sum \frac{b^2}{a^2+ab+bc}$$

$$\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}+2\sum \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=3$$