Ngày thi thứ nhất.
Câu 1. Cho $a$ là một số thục không âm và $(u_n)$ là
dãy số xác định bởi $$u_1=3,\,
u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\text{ với mọi } n\geq
1.$$
a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.
Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$
Câu 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.
Câu 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và có tâm là $I$.
a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Chứng ming rằng $\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}.$
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\widehat{MTN}$ đi qua một điểm cố định.
a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.
Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$
Câu 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.
Câu 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và có tâm là $I$.
a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Chứng ming rằng $\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}.$
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\widehat{MTN}$ đi qua một điểm cố định.
NGÀY 2
Bài 5: (7,0 điểm) Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định
bởi:
$f_0(x)=2,f_1(x)=3x,f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)$
với mọi $n\ge 2$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho
đa thức $x^3-x^2+x$.
Bài 6 (7 điểm). Với $a,n$ nguyên dương, xét phương
trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên
a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để với mọi $n\ge 250$,
phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.
b) Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm
giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm
$(x,y,z)$.
Bài 7 (6 điểm) Cho $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam
$(m,n\ge 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tai Liên hoan song ca, mỗi buổi biểu
diễn văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà
trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều
được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp
nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình
kia. Liên hoan Song cả chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau cỏ thế
có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh X nếu
như hủy tất cả các bài song ca mà X tham gia thì có ít nhất một học sinh khác
không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các
chương trình lệ thuộc vào X thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương
trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các
buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ
không cùng tính chẵn lẻ.
Bài 5: (7,0 điểm) Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định
bởi:
$f_0(x)=2,f_1(x)=3x,f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)$
với mọi $n\ge 2$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho
đa thức $x^3-x^2+x$.
Bài 6 (7 điểm). Với $a,n$ nguyên dương, xét phương
trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên
a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để với mọi $n\ge 250$,
phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.
b) Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm
giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm
$(x,y,z)$.
Bài 7 (6 điểm) Cho $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam
$(m,n\ge 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tai Liên hoan song ca, mỗi buổi biểu
diễn văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà
trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều
được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp
nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình
kia. Liên hoan Song cả chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau cỏ thế
có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh X nếu
như hủy tất cả các bài song ca mà X tham gia thì có ít nhất một học sinh khác
không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các
chương trình lệ thuộc vào X thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương
trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các
buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ
không cùng tính chẵn lẻ.
Post a Comment