Bài toán:
Cho a,b,c là các số thực dương.Tìm $P_{min}$
$$P=\dfrac{a+3c}{a+2b+c}+\dfrac{4b}{a+b+2c}-\dfrac{8c}{a+b+3c}$$
Lời giải:
Nhìn vào điều kiện bài toán dẫn ta đến việc đăt ẩn phụ
Đặt $\left\{\begin{matrix}
a+2b+c=x\\a+b+2c=y \\ a+b+3c=z \end{matrix}\right.\Rightarrow
\left\{\begin{matrix} a+3c=2y-x\\4b=4x-8y+4z \\ -8c=8y-8z \end{matrix}\right.$
Do
đó $A=\dfrac{2y-x}{x}+\dfrac{4x-8y+4z}{y}+\dfrac{8y-8z}{z}$
$\Rightarrow A=\dfrac{2y}{x}-1+\dfrac{4x}{y}-8+\dfrac{4z}{y}+\dfrac{8y}{z}-8$
$\Rightarrow
A=(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{4x}{y})+(\dfrac{4z}{y}+\dfrac{8y}{z})-17$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
$$(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{4x}{y})+(\dfrac{4z}{y}+\dfrac{8y}{z}) \geqslant 4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=12\sqrt{2}$$
$\Rightarrow A\geqslant
12\sqrt{2}-17$
Đẳng thức xảy ra
khi $\left\{\begin{matrix} y=x\sqrt{2}\\ z=y\sqrt{2}
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+2c=(a+2b+c)\sqrt{2}\\
a+b+3c=(a+b+2c)\sqrt{2} \end{matrix}\right.$
Post a Comment