Bài toán:Tìm Min $A=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\dfrac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$
Lời giải:
Đặt $t=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}$
Ta sẽ chứng minh $t\geq 3$
Thật vậy:$ t\geq 3\Leftrightarrow 2(x+y+1)^2\geq 6(x+y+xy)$
$\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\geq 0$
Điều này luôn đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$
Ta có: $A=\dfrac{8t}{9}+\left(\dfrac{t}{9}+\dfrac{1}{t}\right)\geq \dfrac{24}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$
Dấu $"="$ xảy ra khi:$ t=3\Leftrightarrow x=y=1$
Lời giải:
Đặt $t=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}$
Ta sẽ chứng minh $t\geq 3$
Thật vậy:$ t\geq 3\Leftrightarrow 2(x+y+1)^2\geq 6(x+y+xy)$
$\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\geq 0$
Điều này luôn đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$
Ta có: $A=\dfrac{8t}{9}+\left(\dfrac{t}{9}+\dfrac{1}{t}\right)\geq \dfrac{24}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$
Dấu $"="$ xảy ra khi:$ t=3\Leftrightarrow x=y=1$
Post a Comment