Chào mừng ngày quốc khánh 02-09-2014,CHU HOÀNG TRUNG thực hiện TOPIC này nhằm giới thiệu với các bạn chưa biết về
Véc-tơ cũng như luyện tập cho các bạn đang học lớp 10.
Hãy ấn "Theo dõi chủ đề" ở góc trên bên phải màn
hình của TOPIC để có những thông tin cập nhật thường xuyên về TOPIC
Trong chương trình hình học phẳng . véc-tơ là khái niệm quan
trọng, ưu điểm của nó là không cần thiết phải sử dụng nhiều đến hình vẽ .Chuyên
đề này sẽ giới thiệu những khái niệm , tính chất cùng với đó là một số bài tập
và ứng dụng của véc-tơ vào việc giải toán.
1. Định nghĩa về véc-tơ và các phép toán trên véc-tơ
1.1 Định nghĩa về véc-tơ, phương , hướng của véc-tơ và hai
véc-tơ bằng nhau
i) Ta định nghĩa véc-tơ là đoạn thẳng có hướng. Ví dụ
véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $B$ , có giá là
đường thẳng đi qua $A,B$ và độ dài của nó là độ dài đoạn thẳng $AB$ , kí hiệu
$\left | \overrightarrow{AB} \right |$.Ngoài ra véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối
trùng nhau được gọi là véc-tơ không $(\overrightarrow{0}) $
ii) Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của
chúng song song hoặc trùng nhau. Hai véc -tơ cùng phương thì có thể cùng
hướng hoặc ngược hướng.
iii) Hai véc-tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng
và cùng độ dài, kí hiệu $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}\left | \overrightarrow{AB} \right |=\left |
\overrightarrow{CD} \right | \\\overrightarrow{AB}
\uparrow\uparrow\overrightarrow{CD} \end{matrix}\right.$$
Chú ý: a. $A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow
\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}.$
b. Hai
điểm $B$ và $B'$ trùng nhau khi và chỉ
khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB'}.$
c. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương thì $x.\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $x=y=0$
c. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương thì $x.\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $x=y=0$
1.2. Định nghĩa về các phép toán trên véc-tơ
i) Phép cộng véc-tơ : Cho hai
véc-tơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}$
. Khi đó véc-tơ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
là tổng của hai véc-tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$
ii) Phép trừ véc-tơ : Cho hai
véc-tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Khi đó véc-tơ $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$
được gọi là véc-tơ hiệu của hai véc-tơ $\overrightarrow{a}$
và $\overrightarrow{b}.$ Ví dụ :
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$
iii) Pháp nhân véc-tơ $\overrightarrow{a}$ cho một
số thực $k$, kí hiệu $k.\overrightarrow{a}$, là một véc-tơ có hướng cùng với $\overrightarrow{a}$
nếu $k>0$ và ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu $k<0$ với độ
dài $\left | k.\overrightarrow{a} \right |=\left | k \right |.\left
| \overrightarrow{a} \right |$
Chú ý : Quy tắc $n$ điểm : Cho $n$ điểm
$A_i,i=\overline{1,n}$ khi đó ta có
: $$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+...+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}$$
1.3. Phép chiếu véc-tơ
i) Định nghĩa :Cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng
$l$ không song song với $\Delta$ và $\overrightarrow{AB}$ là véc-tơ
bất kỳ. Qua $A,B$ kẻ các đường thẳng song song với $l$ , chúng cắt $\Delta$ theo
thứ tự tại $A',B'$ . Véc- tơ $\overrightarrow{A'B'}$ được gọi
là hình chiếu của véc-tơ $\overrightarrow{A'B'}$ qua phép chiếu
phương $l$ (phương chiếu ) lên đường thẳng $\Delta$ ( đường thẳng chiếu).
Hiển nhiên nếu hai véc-tơ bằng nhau thì hình chiếu của chúng cũng bằng nhau.
ii) Tính chất :
Nếu kí hiệu phép chiếu đi từ phương $l$ xuống $\Delta$ là $Ch_l(\Delta
)$, ta có :
a.$Ch_l(\Delta
)(\overrightarrow{a})=\overrightarrow{a}\Leftrightarrow
\overrightarrow{a}//\Delta$
b.$Ch_l(\Delta
)(\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}//l$
1.4. Hai định lý về sự biểu thị véc-tơ
Định lý 1: Cho hai véc-tơ $\overrightarrow{a}\neq
\overrightarrow{0}$, véc-tơ $\overrightarrow{b}$ tùy ý . Khi đó ta có
:
$$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Leftrightarrow
\exists k\in \mathbb{R}: \overrightarrow{b}=k.\overrightarrow{a}$$
Định lý 2: Cho hai véc-tơ không cùng phương
$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và véc-tơ $\overrightarrow{c}$ bất
kì. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số thực $(m,n)$ sao cho
$\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}.$
1.5. Tích vô hướng của hai véc-tơ
i) Định nghĩa : Cho hai véc-tơ
$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng
của hai véc-tơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ , ký hiệu là
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$, xác định bởi công thức :
$$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left |
\overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |.cos\left
(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right )$$
Hệ quả :
$$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow
\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$$
ii) Mở rộng :
a. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}\left
[
(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2
\right ]=\frac{1}{4}\left ( \left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
\right |^2-\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |^2 \right )$
b. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\left
( MA^2+MB^2-AB^2 \right )$
c. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C_1D_1}$
( với $C_1,D_1$ là hình chiếu của $C,D$ trên $AB.$)
iii) Ngoài ra, còn có khái niệm tích ngoài của hai
véc-tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, kí hiệu là
$\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}$, xác định như sau :
$$\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}=\left |
\overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right
|.\sin(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$$
Hệ quả : $$\overrightarrow{a}\wedge
\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$$
1.6. Một số hệ thức quen thuộc véc-tơ quen thuộc
1.6.1. Công thức điểm chia: $$\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Leftrightarrow
\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}-k\overrightarrow{OB}}{1-k}$$
Hệ quả : Nếu điểm $M$ nằm giữa $A,B$ ta có
$k=\dfrac{-MA}{MB}$ , khi đó $$\overrightarrow{OM}=\dfrac{MB}{AB}.\overrightarrow{OA}+\dfrac{MA}{AB}\overrightarrow{OB}$$,
đặc biệt khi $M$ là trung điểm $AB$ thì
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ và
$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}. (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$
1.6.2. Hệ thức $Jacobi$
Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kỳ , đặt
$S_a=S_{MBC},S_b=S_{MCA},S_c=S_{MAB}$ , khi đó ta có :
i) Nếu $M$ nằm trong tam giác thì
$$S_a.\overrightarrow{MA}+S_b.\overrightarrow{MB}+S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$
ii) Nếu $M$ nằm ngoài tam giác,chẳng hạn $M$ thuộc góc $\widehat{BAC}$ và góc đối định của nó thì
ii) Nếu $M$ nằm ngoài tam giác,chẳng hạn $M$ thuộc góc $\widehat{BAC}$ và góc đối định của nó thì
$$S_a.\overrightarrow{MA}-S_b.\overrightarrow{MB}-S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$
Tương tự khi $M$ thuộc các
góc $\widehat{ACB},\widehat{ABC}.$
1.6.3. Với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ , $H$ là trực
tâm , $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp , $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, ta
có các hệ thức sau
I) $$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$$
II) $$\overrightarrow{MG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})$$
với $M$ là điểm tùy ý
III) $$\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$
IV) $$a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$
$$a.\overrightarrow{ID}+b.\overrightarrow{IE}+c.\overrightarrow{IF}=\overrightarrow{0}$$
với $D,E,F$ là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ nội tiếp tam
giác $ABC$ với các cạnh $BC,CA,AB$
V) $$tan\widehat{A}.\overrightarrow{HA}+tan\widehat{B}.\overrightarrow{HB}+tan\widehat{C}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$$
VI) $$\sin\widehat{2A}.\overrightarrow{OA}+\sin\widehat{2B}.\overrightarrow{OB}+\sin\widehat{2C}.\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$
Ngoài ta khi tam giác $ABC$ đều , tâm $O$, $M$ là điểm bất kỳ
trong tam giác , $D,E,F$ là hình chiếu của $M$ trên $BC,CA,AB$. khi đó:
$$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$$
1.7. Các định lí về véc-tơ
1.7.1) Định lí con nhím :
Cho đa giác lồi $A_1A_2...A_n$ và các véc-tơ đơn vị
$\overrightarrow{e_i}(1\leq i \leq n)$ theo thứ tự vuông góc với
$\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ (xem $A_{n+1}=A_1$), hướng ra phía ngoài đa giác
. Khi đó ta có :
$$A_1A_2\overrightarrow{e_1}+A_2A_3\overrightarrow{e_2}+...+A_nA_1\overrightarrow{e_n}=\overrightarrow{0}$$
Có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh định lý ,
phần chứng minh dành cho bạn đọc.
1.7.2) Tâm tỉ cự của một hệ điểm và mở rộng
a) Khái niệm : Cho hệ điểm $A_1,A_2,...,A_n$ và các số
thực $m_1,m_2,...,m_n$ sao cho $m_1+m_2+...+m_n\neq 0$ , $I$ được gọi là tâm tỉ
cự của hệ điểm $\begin{Bmatrix} A_1,A_2,...,A_n \end{Bmatrix}$ với các hệ
số tương ứng $\begin{Bmatrix} m_1,m_2,...,m_n \end{Bmatrix}$ khi và chỉ
khi:
$$m_1\overrightarrow{IA_1}+m_2\overrightarrow{IA_2}+...+m_n\overrightarrow{IA_n}=\overrightarrow{0}\left
( \sum_{k=1}^{n}m_k\overrightarrow{IA_k}=\overrightarrow{0} \right )$$
b) Tính chất
i) $I$ xác định duy nhất
ii) $I$ là tâm tỉ cự của hệ $\begin{Bmatrix}A_1,A_2,...,A_n
\end{Bmatrix}$ với các hệ số $\begin{Bmatrix} m_1,m_2,...,m_n
\end{Bmatrix}$ , cho $M$ là một điểm tùy ý, khi đó :
$$m_1.\overrightarrow{MA_1}+m_2.\overrightarrow{MA_2}+...+m_n.\overrightarrow{MA_n}=(m_1+m_2+...+m_n)\overrightarrow{MI}$$
iii) Mở rộng :
Cho $J$ là tâm tỉ cự của hệ $A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)$,
$a,b,c$ là độ dài các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$ , khi đó ta có
Mở rộng $1$: $$\alpha\overrightarrow{JA}+\beta\overrightarrow{JB}+\gamma\overrightarrow{JC}=0\Leftrightarrow
\alpha.JA^2+\beta.JB^2+\gamma.JC^2=\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}\left [ \alpha
\beta c^2+\beta \gamma a^2+\alpha \gamma b^2 \right ](1)$$
Bạn đọc có thể chứng minh bằng cách bình phương $2$ vế của
biểu thức
$\alpha\overrightarrow{JA}+\beta\overrightarrow{JB}+\gamma\overrightarrow{JC}=0$
Hệ quả :
+) Cho $\alpha =\beta =\gamma =1\Rightarrow
J\equiv G$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì
$$(1)\Rightarrow GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$$
+) Cho $\alpha =a,\beta =b,\gamma =c\Rightarrow J\equiv
I$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ thì
$$(1)\Rightarrow a.IA^2+b.IB^2+c.IC^2=abc$$
Mời bạn đọc khám phá thêm nhiều hệ quả nữa !
Mở rộng $2$: Nếu ta chèn điểm $M$ tùy ý vào $(1)$ ta được :
Mở rộng $2$: Nếu ta chèn điểm $M$ tùy ý vào $(1)$ ta được :
$$(1)\Rightarrow \alpha MA^2+\beta MB^2+\gamma
MC^2=\frac{1}{\alpha +\beta +\gamma }\left ( \alpha\beta c^2+\alpha \gamma
b^2+\beta \gamma a^2 \right )+(\alpha +\beta +\gamma )MJ^2$$
Hệ quả :
+) Lấy $\alpha =S_{MBC},\beta =S_{MAC},\gamma
=S_{MAB}\Rightarrow M\equiv O$, với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
$ABC$ thì
$$(2)\Leftrightarrow R^2-OJ^2=\frac{1}{(S_{ABC})^2}.\left (
S_{MBC}.S_{MAC}.c^2+S_{MAB}.S_{MBC}.b^2+S_{MAC}.S_{MBA}.a^2 \right )(*)$$
Mời bạn đọc khám phá nếu $J$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam
giác $ABC$ ...... và thêm nhiều hệ quả nữa...
Post a Comment