NGÀY THI THỨ NHẤT
$\boxed{\text{Bài 1}}$ :Cho dãy số nguyên dương vô hạn $a_0<a_1<a_2<.....$, chứng minh rằng tồn tại duy nhất chỉ số $n\geq 1$ sao cho : $$a_n<\frac{a_0+a_1+...+a_{n}}{n}\leq a_{n+1}$$
$\boxed{\text{Bài 2}}$ :Cho số nguyên dương $n\geq 2$,
và bảng ô vuông $n\times n$ gồm $n^2$ ô vuông nhỏ. 1 cấu hình $n$ ô
vuông nhỏ được gọi là "thanh bình" nếu mỗi hàng và mỗi cột
của bảng chứa đúng 1 ô vuông nhỏ. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất
sao cho với mỗi cấu hình $n$ ô vuông nhỏ "thanh bình"
luôn tồn tại 1 hình vuông $k\times k$ của bảng không chứa 1 ô vuông nhỏ
nào (trong $n$ ô vuông "thanh bình")
$\boxed{\text{Bài 3}}$ : Tứ giác lồi $ABCD$ có
$\widehat{ABC}=\widehat{CDA}=90^{o}$. $H$ là hình chiếu của $A$ xuống $BD$, $S$
và $T$ lần lượt thuộc $AB$ và $AD$ sao cho $H$ nằm trong tam giác $SCT$ và :
$$\widehat{CHS}-\widehat{CSB}=90^{o}\,\,\, ,
\,\,\, \widehat{THC}-\widehat{DTC}=90^{o}$$
Chứng minh rằng $BD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam
giác $TSH$.
Ngày thi thứ hai
$\boxed{\text{Bài 4}}$: Các điểm $P,Q$ lấy trên cạnh $BC$ của
tam giác nhọn $ABC$ sao cho $\angle PAB = \angle BCA$ và $\angle CAQ = \angle
ABC$. $M,N$ trên $AP, AQ$ sao cho $P$ là trung điểm $AM$ và $Q$ là trung điểm
$AN$. Chứng minh giao điểm của $BM$ và $CN$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của
tam giác $ABC$
$\boxed{\text{Bài 5}}$: Với mỗi số nguyên dương $n$. Ngân
hàng Cape Town đều phát hành đồng xu có mệnh giá $\dfrac{1}{n}$. Cho
một bộ sưu tập gồm hữu hạn các đồng xu như vậy (các đồng xu không nhất thiết có
mệnh giá khác nhau) mà tổng mệnh giá của chúng không vượt quá $99 +
\frac{1}{2}$. Chứng minh rằng có thể phân chia bộ sưu tập đó thành không quá
$100$ nhóm sao cho tổng mệnh giá của các đồng xu trong mỗi nhóm không vượt quá
$1$
$\boxed{\text{Bài 6}}$: Một tập hợp các đường thẳng trên mặt
phẳng được gọi là ở thể tổng quát nếu không có $2$ đường thẳng nào
trong tập hợp song song và không có $3$ đường thẳng nào trong tập hợp đồng quy.
Mỗi tập hợp đường thẳng ở thể tổng quát phân chia mặt phẳng ra các miền,
trong đó mỗi miền có diện tích hữu hạn; ta gọi những miền như vậy là những
miền hữu hạn. Chứng minh rằng với mọi số $n$ đủ lớn. Trong mỗi tập hợp gồm $n$
đường thẳng ở thể tổng quát, ta đều có thể tô không ít hơn $\sqrt{n}$ bởi màu
xanh sao cho không có miền nào trong số các miền hữu hạn có toàn bộ
đường biên là màu xanh.
Post a Comment