Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{b^{3}+2abc+c^{3}}{a^{2}+bc}+\frac{a^{3}+2abc+c^{3}}{b^{2}+ac}+\frac{b^{3}+2abc+a^{3}}{c^{2}+ba}\geq 2(a+b+c)$.

VT $+(a+b+c)=\sum_{a,b,c}\frac{a^3+b^3+c^3+3abc}{a^2+bc}=(a^3+b^3+c^3+3abc).\sum_{a,b,c}\frac{1}{a^2+bc}$$\overset{\text{B.C.S}}{\ge}(a^3+b^3+c^3+3abc).\frac{9}{\sum(a^2+bc)}$

Do đó ta cần CM : $9(a^3+b^3+c^3+3abc)\ge 3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$ (*)

(*) $\Leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3+3abc)\ge a^3+b^3+c^3+2[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)]+3abc$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$ (**). Đây là BĐT Schur bậc 3 quen thuộc.

Không mất tính TQ có thể g/s $a\ge b\ge c$. Khi đó :

(**) $\Leftrightarrow a(a-b)^2+(a-b)^2(b-c)+c(a-c)(b-c)\ge 0$ (Đúng do $a\ge b\ge c$).

Vậy (**) đúng $\Rightarrow$ (*) đúng $\Rightarrow$ (2) đúng